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一类分数阶微分方程边值问题解的存在性与唯一性_压缩映射原理
发布日期：2022-10-15 11:15:00|
论文摘要：利用Banach压缩映射原理讨论非线性分数阶微分方程边值问题 论文关键词：压缩映射原理,格林函数,边值问题,微分 0引言： 分数阶微分方程在不同的科学领域起着越来越重要的作用。例如在扩散和运输理论、高分子材料的解链、弹性梁等诸多领域得以应用。近年来,有许多学者在分数阶微分方程领域取得了不少的成果. 本文受到文献[5]的启发,利用Banach压缩映射原理讨论下面含参数分数阶微分方程边值问题 解的存在性及唯一性，其中  是一个实数，并且 是Caputo型微分。并假设 是连续的。1预备知识 为了方便证明，直接给出分数阶微分方程的定义和基本定理。 定义1.1：函数y：  的 阶Caputo型微分定义如下： 0定义1.2：函数y： 的阶Riemann—liouville型分数阶积分定义如下： 引理1.1：令  ，那么分数阶微分方程 有解 其中  引理1.2：令 ，则有 其中 0由引理1.1，引理1.2可得下面的引理。 引理1.3：给定  ，且，则分数阶微分方程 的唯一解是  ，其中 （2）引理1.4：通过（2）定义的格林函数  有如下性质：（R1）  ，而且对 ，有 ；（R2） 0令  ，其范数 ，可知（X, ）是Banach空间。在本文中做以下假设： （H1）存在常数  ，使得 考虑  定义算子T：  为： ，则分数阶微分方程问题（1）有解，等价于算子方程 有不动点。定理1.1（Banach压缩映射原理）设D是Banach空间X中的一个非空闭子集，而T： 0，且T在D内满足Lipschitz条件，即对任意的 ，有 ，则必存在唯一的 ，使 。2主要结果 定理2.1如果假设H1成立，且  ，那么边值问题（1）存在唯一解。 证明：令  ， 定义空间  ，由（H1），对  ，有 .则    所以T：  ，对 ,有  因为  ,所以T是压缩映射，于是存在唯一的 ，即边值问题（1）存在唯一正解。
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