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多圆盘上的Toeplitz算子_无界函数

发布日期：2022-10-15 11:15:00

论文摘要：受曹广福教授和Josepha.Cima教授的文章的启发，研究多圆盘上Bergman空间中具有无界符号的Toeplitz算子的有界性、紧性。
论文关键词：算子,无界函数,空间
一、引言
记D是复平面内的单位圆盘，T是单位圆周，对确定的正整数n，分别是n个D，T的笛卡尔积，不难证明是的Shilov边界［8，9］，表示的拓扑边界，本文所涉及的边界问题只考虑Shilov边界。表示Bergman空间，在上关于正规化的Lebesgue面积测度dA是平方可积的，且在上是解析的函数空间。对，用表示上以f为符号的Toeplitz算子，其定义如下：其中P表示上的正交投影，此算子是稠密定义的。在［1］中，曹广福教授在单位球上构造了一类无界函数，使以之为符号的Toeplitz算子是紧的，并且，构造了在单位球的每个边界点的任意领域上的无界函数，以其为符号的Toeplitz算子是trace类算子。在［2］中Axler刻画了D上的有界符号诱导出Toeplitz算子在Bergman空间上何时是紧的。在［3］中，Grudsky和Vasilevski证明了以径向函数为符号的Toeplitz算子在上是有界（或紧）的，当且仅当序列。在［5］中Josepha.Cima研究了在单位圆盘上Bergman空间中以无界函数为符号的Toeplitz算子的紧性问题。
二、有界性
本部分在多圆盘上构造满足一定增长条件的无界函数.首先在的子域上构造特定的类型使得这些无界函数在的正测度集上"膨胀"，但其相应的Toeplitz算子仍是有界的，或紧的。设“锥点”域其中m,b的值视研究的具体情况而定。对上的任意点，设是在旋转，再“膨胀”，使得对某个，满足且.设序列恰好是某个Cantor集的顶点。首先在[0,1]区间构造Cantor集，去掉中间长度为的部分，在剩下的两个不相交的区间中再分别去掉长度为的中间部分，依次重复这个过程..此过程在[0,1]上产生一个紧的正测度集A，对A作n个笛卡尔积，设，通过函数，把M映射到，且是顶点的像.因此，每个在达到，且可选择使得它们是不相交的。设,考虑一个可测函数H(z)满足其中0，使得对每个球（以为球心，r为半径），及任意r值，有
。定义是的特征函数，显然h在每个点趋向无穷大.又因为中的Cantor集的其它点是顶点的极限点，所以h在的Cantor集的其它点也趋向无穷大.因此，得出结论：在的正测集上，h为无穷大.易证当时，选择适当的b与，可使下面讨论Toeplitz算子的有界性。
定理1.1:设H(z)是上具有增长速度为的可测函数，其中0，对上的任意Cantor集,其顶点，存在与不相交集，为集合
在旋转而得，且有限，使得若，则符号诱导上的一个有界Toeplitz算子。特别地，当取b=2c+5,时，结论成立.
证明：对，
对每个i,

若对某一满足b-2c-3>0的常数c,则

取b=2c+5,上式级数收敛，所以在上有界。.因此，即使符号在的正测度集上趋于无穷，仍可以得到有界的Toeplitz算子。
三、紧性
定理1.2:设h与如定理1.1中所设，则选取合适的b与值时，可使为上的紧算子。
证明:选取序列满足且在的紧子集上一致收敛到0，我们将证明，当时，。再选取序列使得设，选定J，则可找到正整数N使得对任意，且对，有.考察
现估算与，对任意n>N，

对,运用Cachy-Schwarz不等式，则

若取b=2c+4，则由已知假设得右边的级数收敛，的和小于的常数倍。

所以，当时，故是紧的。

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